Geometria

Fornire allo studente gli strumenti per: a) risolvere sistemi di equazioni lineari; b) diagonalizzare matrici (simmetriche); c) risolvere semplici esercizi di geometria analitica lineare nello spazio; d) operazione su vettori e matrici.

Esercitazioni per la discussione e la soluzione di esercizi su argomenti delle lezioni.

1. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Combinazione lineare di vettori: dipendenza/indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di una spazio vettoriale. Formula di Grassmann. 2. Determinanti: definizione tramite le formule di Laplace e proprietà fondamentali. Teorema di Binet. Operazioni elementari di riga e colonna su matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice. 3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss-Jordan e teorema di Rouché Capelli. 4. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad una applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e applicazioni inverse. 5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili. 6. Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positività per prodotti scalari. Cenni al caso complesso. 7. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe. Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto vettore e sue proprietà fondamentali. Distanza di un punto da un piano e da una retta. 8. Complementi di algebra e/o geometria.